3.7 隱微分
隱函數（implicit functions）
到目前為止，我們討論函數時，在其形式上，大部分指的是顯函數（explicit functions），意即可以用形式表達出來的，例如：或等，函數有另一種形式無法直接用形式表達，而只能透過與關係的描述（通常是一個與的方程式）來定義之，這樣的函數稱為隱函數（implicit functions），例如：，這個方程式可能隱藏著一個的實函數，使得，吾人稱此隱藏於其中的函數為隱函數。
例題1. 隱藏著幾個之函數？
【解】欲知隱藏著幾個之函數，最好的方法就是將這些函數明顯地找出來，亦即將隱函數化為顯函數，大部分的人會這樣做：
考慮定義域為最大的範圍，有個函數隱藏於其中，分別為、，其圖形如圖一（b）與（c）所示。但是，正確答案是無窮多個，讓我造出第三個給你看：
其圖形如圖一（d）所示，也滿足，也是隱藏於其中的一個函數啊！只不過他是一個不連續函數罷了，不連續點為處，若不連續點改為其他點，則我們有無窮多種選擇，可造出無窮多個類似之函數。當然，若題目改為隱藏著幾個之連續函數，則答案只有與兩個。 █
通常一個與之方程式，隱藏著不只一個之函數，像例題1就是，但有時候只隱藏一個之函數，像就是。可分解為
，
在考慮實函數之情況下，只隱藏一個之函數。此外，一個與之方程式也可能沒有任何實函數隱藏於其中，例如：，它是不可能找出任何來滿足該方程式的。
隱函數微分
像例題1中，隱藏著之函數，如今我們欲求其對之微分，之前的方法要先根據例題1先找出隱藏於其中的兩個連續函數與 ，再利用微分公式與連鎖律求其微分，答案是 與。但是若給你這樣的方程式：，其中隱藏著之函數，請你求出其對之微分，這就麻煩了，因為要將其中之隱函數明白寫成之顯函數形式已經非常困難了，遑論求其微分，所以我們需要一套隱函數微分法來求解此類的微分，這方法就是利用連鎖律直接將方程式對微分，再解出即是，詳細過程請看下列例題說明：
例題2.若，（a）求，（b）求此圓上一點之切線方程式。
【解】（a）
（利用連鎖律，記得是之函數）
解出
這個答案與之前與的答案相符，因為將代入即是。
（b）
故其切線方程式為或。 █
從以上例題這個答案可以看出隱函數微分的結果通常會保留有，這是與顯函數微分的結果只是的函數（例如：與）形式上不相同之處。不過想想卻是十分合理，一旦你可以找出之顯函數代入，則微分結果立刻變為完全只有之數學式了。
例題3.若，求。
【解】利用隱函數微分法，
（記得是之函數，再利用連鎖律）
解出。 ■
或許你會很好奇以上例題有無辦法用顯函數之形式表達？要這樣做先得找出其中的顯函數。這得先將看成是一個的一元三次方程式（把看做常數），再利用一元三次方程式根的公式求出，不過一元三次方程式根的公式十分難記(不像一元二次方程式根的公式那麼好記)，我們查公式代入得到其三個根、、：
、
然後再將上述、、分別對求微分即是。天啊！這是多累的一件事啊！所以有時候雖可求得顯微分，但相比起來隱微分的計算容易多了。之圖形請參考圖二（a），我們於其中可找出隱藏的三個函數如圖二（b）、（c）、（d）所示。
例題4.若，求。
【解】
解出 ■
兩曲線之正交
若兩曲線相交之處，各自的切線互相垂直，則稱此兩曲線正交（orthogonal）
例題5.試證，，與，，兩曲線群正交。
【證】若，則
解出。
同理，若，則
解出。
若與相交於，則此處各自切線斜率為與，兩者之乘積為，亦即此二切線互相垂直，故此二曲線群正交（參考圖三）。
3.7 習題（＊表較難者）
1.已知，試求。
2.求上一點之切線方程式。
3*.試證微分公式中之冪次定律，為有理數。
4. 試證與此二曲線群正交。