函數的基本觀念簡介

什麼是函數？函數為兩集合間的某種對應關係，當集合Ａ中的每一個元素在集中Ｂ皆恰有（有且僅有）一個元素與其對應，我們稱這種對應關係為一從集合Ａ對應至集合Ｂ的一個函數關係。　舉一個最簡單的例子，每個人皆有自己的身高，所以人和身高之間的對應為一函數。

 

通常函數可以用一英文字母，如：、、來稱之，若我們說為從集合Ａ對應至集合Ｂ的函數，可記為，其中集合Ａ稱為函數的定義域，集合Ｂ稱為函數的對應域。

 

集合Ａ中的每個元素所對應的元素可行成一個集合，此集合稱為函數的值域，記為，所以函數通常可記為。

 

例題1.設，，C={甲,乙,丙}

為A對應至B之函數，且其對應如下：

以圖形表示

其值域為。

為A對應至C之函數，且其對應如下：

其值域為 {甲,乙}。                                   ■

在數學上，很多的函數其定義域、對應域、值域均為數。例如：

I.多項式函數： ，其中為常數，，其定義域、對應域、值域皆為。

II.有理函數：，其中、皆為多項式，其定義域為所有不使之實數所成的集合，其值域為。

III.根函數：，其中為任意函數，其定義域為所有使的實數所成的集合，而其值域為。

IV. 三角函數，以正弦函數為例：，其定義域為，其值域為。

 

合成函數

 

當兩個函數合併成一個新函數時，我們稱此新函數為此兩個函數的合成函數。設在函數的定義域中，且在函數的定義域中，則函數稱為和之合成函數，通常記為，即。

 

例題2.若且，試求（a）（b）及其定義域

【解】（a），

定義域為。

（b），

要求，而要求即或，

因此交集為，所以其定義域為。                ■

 

函數的圖形

 

通常以函數的定義域的值當座標，值域的值當作座標，則將函數的所有對應數對在－座標平面上描點，可畫出函數的圖形。

 

垂直測試法

由函數的定義，以函數的定義域中的任一值畫一垂直於軸的直線，必定和函數的圖形只相交於一點。若相交於兩點以上則違反了函數定義中有且僅有的對應規則，這樣的圖形不會是一個函數的圖形。以下列例題說明之:

 

例題3.下列圖形中，何者為函數的圖形？

（a）                   （b）                （c）

 

【解】（b）不是函數的圖形，其餘皆為函數的圖形。                     ■

 

偶函數與奇函數

對函數定義域中的任一值，若滿足的情況，則稱為

一個偶函數；若滿足的情況，則稱為一個奇函數。例如: , 等是偶函數; ,  等是奇函數。偶函數的圖形會對稱於ｙ軸; 而奇函數的圖形會對稱於原點，如下圖所示: