3.3 微分公式
在3.1 微分當中,我們介紹了微分的定義,3.2 微分函數當中介紹了微分函數的觀念。我們欲求一函數之微分函數(或稱導函數),每每須由下列定義來求:
(1)
過程中需要用到各種極限定律,計算往往冗長不便,在本節中,我們將介紹一些微分公式以替代上述直接由定義求微分的方式,可節省我們很多時間與力氣。
3.3.1 微分公式
(1)為一常數,
(2)
(3)冪次定律:若為一整數,則
(4)若為一常數,可微分,則
(5)加法定律:若與皆可微分,則
(6)減法定律:若與皆可微分,則
(7)乘法定律:若與皆可微分,則
(8)除法定律:若與皆可微分,則
【證明】這些微分公式皆可由式(1)證明:
(1)令,,
其直觀意義可由圖一中函數圖形每一點之切線皆為水平得到驗證。
(2)令,,
其直觀意義可由圖二中函數圖形得到驗證。
(3)令,
在此 限制為正整數,稍後我們可將此推廣至整數,在3.7隱微分中又可將此推廣至有理數,最後在7.4一般對數及指數函數可將此推廣最極至,亦即 為所有實數皆成立。
(4)令,
(5)令,
(6)同上,將“”改成“”即可同理推導之,讀者可自行練習。
(7) 令,
(8)令,
■
利用上述之除法定律,可將上述之冪次定律延伸至為整數之情形:
定理 3.3.2
若為一整數,則。
【證明】
(1)為正整數,證明如3.3.1。
(2) 時, , ,左=右,故得證。或許有人會注意到上述 有問題,當 時變成 不一定會等於 。沒錯,不過這時候有一個更大的問題要先研究,當 時,左邊的 我們都知道 的任何次方是 ,任何數的 次方是 ,那麼 是 還是 ?還是公平起見,取 為答案?這不是個小問題!我們要等到7.7不定型極限與羅必達定律才能回答,所以在此假設 ,避開此問題。
(3)為負整數時,令,則為一正整數,由3.3.1中羃次、除法定律及其他公式:
綜合上述(1)、(2)、(3),吾人可將羃次定律推廣至為整數。 ■
如前所述,事實上羃次定律可推廣至為實數之情形:
3.3.3 一般羃次定律
若為一實數,則。
雖然直覺上,推廣至實數好像是順理成章之事,但是此定律的證明卻要等到7.4一般對數與指數函數,因為你要先回答 是什麼?我們在中學都學過的整數次方是什麼,例如;的負整數次方又是什麼,例如;的有理數次方又是什麼,例如,而且我們學過如何用筆算出的小數,但是你如何定義的無理數次方,如呢?是否為個相乘呢?那麼個相乘又是什麼意思?這些問題都要先回答,然後才能談到上述定律的證明。目前我們不妨先接受這個定律,並用他來計算微分。
例題1.求
【解】
(由3.3.1之(4)、(5)、(6))
(由3.3.1(1)、(2)、(3))
■
例題2.若,求。
【解】由3.3.1(7)乘法定律,
另外,,由3.3.1(3)(4),
可驗證上述答案。 ■
例題3. ,求。
【解】由3.3.1(8)除法定律及其他:
■
例題4.求下列微分:
【解】由3.3.3
■
3.3習題
1. 求在處之切線方程式。
2. 雙曲線在何處有切線平行?
3. 若、、為可微分之函數,試證明。
4. 試求。
5. ,試問在何處可微分?試畫出與之圖形。