3.6 連鎖律
有一年我在微積分的期中考出了一題求，有一位很少來上課的仁兄的做法是將 利用帕斯卡三角形展開，再用之前多項式的微分公式微分。我給他 分，於是他很不服氣的來跟我抗議，我說：「這樣好了，我再出一題讓你算，如果算對了，分數就給你。」我出的題目是，這位仁兄當場楞在那裡，因為要展開實在太麻煩了，所以他還是沒有拿到這一題的分數。其實不管或是，用連鎖律來算都是小事一件，以為例，可視為一合成函數，其中，，單獨求或之微分都很容易，那麼兩者合成的函數之微分怎麼辦呢？這就要用到本節的連鎖律了。
3.6.1連鎖律
若或皆可微分，亦即，則亦可微分，其微分為
（1）
若使用萊布尼茲的微分記號，令，，則上式亦可寫為
（2）
【說明】我們可以用下面比較不嚴格的方式來〝證明〞上述連鎖律的公式(2)，至於其嚴格的證明，則需要用到2.4極限精確定義中的 與的方式證明，在此省略。當變為時，會跟著變成為，其中的改變量為，
（3）
同時也會跟著變成，其中的改變量為
（4）
如此一來，
由於是連續的，由（3），，故
上式
上面這個證明不嚴格的漏洞在於即使，仍有可能為，如此一來極限就會有問題。不過由這個不嚴格的〝證明〞，你也可以大概看出連鎖律之端倪。 ■
在計算時，公式（1）與（2）皆可以使用，但以公式（2）較容易記憶，甚至用不著特別記憶。因為你把看成兩個分數相乘，很自然約分後就是 ，這就是萊布尼茲記號的好處。如前在3.2微分函數中所言，將微分看為一個分數，其分子與分母各有涵意，但要等到3.10線性逼近與微分量才會說明。
例題1.求
【解】現在讓我們用連鎖律解決這個使那位仁兄飲恨失分的題目。先用公式（1）來套，令，視為與之合成，亦即，則，，由公式（1），
答案就這麼簡單。用公式（2）來思維的方式如下：
若，令，則，如此一來由公式（2），
整個過程十分自然流暢，熟悉的話甚至不用寫出，等中間式，而可直接一筆寫出最後的答案。 ■
例題2.求
【解】我們用公式（2）來思維：
若，令，則（變成一個很簡單的函數，這是令之要點），由公式（2），
不要忘記將還原為，很多人考試時忘了這點。當然，當你連鎖律很熟時，你可以直接一筆寫出上述答案。 ■
例題3.求與。
【解】注意，是這個函數作用在上，而則是，亦即，只是習慣上我們記為罷了。
首先求，若，令，則，由公式（2），
，
接下來求，若，令，則，由公式（2），
當然，當你對連鎖律很熟練時，上述兩個答案，皆可以一道式子就寫出來。■
例題4. ，求。
【解】由公式（2）來思維，
若，令，則，由公式（2），
■
例題5. ，求。
【解】這除了連鎖律以外還需要用到除法定律，一樣先由公式（2）來思維，我們令在心裏不明寫出來，然後計算過程中順手把還原：
■
例題6. ，求。
【解】在此需要用到連鎖律與乘法定律，先由乘法定律：
再由公式（2）來思維，
上式
■
例題7. ，求。
【解】在此除了連鎖律，尚須用到三角函數的微分公式，先用公式（2）來思維：
■
3.6習題（＊表較難者）
1*. 求。
2*. 在3.3節習題5，求 之微分，在此我們亦可以利用連鎖律求之，試問如何求之？
3. ，求。
4. ，求。