3.7 習題解答（＊表較難者）

1. 已知，試求。

【解】

         ■

 

2. 求上一點之切線方程式。

【解】

，故其切線方程式為

或。                                           ■

 

3*.試證微分公式中之冪次定律，為有理數。

【解】在 3.3微分公式 中，我們證明了微分冪次定律， 為整數之情形。現在要證明為有理數的情形：

為有理數，可令，其中與皆為整數，

令，則

將方程式視為隱藏了一個之函數，利用隱函數微分法求微分：

利用隱函數微分法，上述已經能夠證明為有理數之情形，至於要證明 為實數之情形，則要等到 7.4 一般對數與指數函數。              ■

 

 

4. 試證與此二曲線群正交。

【解】若，則

若，則

若與相交於，則此處各自切線斜率為與，兩者之乘積，亦即此二切線互相垂直，故與此二曲線群正交（參考圖四）。                                  ■