3.5 三角函數之微分
在此先推導與之微分，剩下四個三角函數之微分可輕易地由與之微分，配合3.3節微分公式導出。在推導與微分時會用到下列兩個極限公式：
（1）
（2）
【證明】
（1）先證明，亦即考慮之情形。取一半徑為的圓，圓心角為時所切出之扇形,如圖一(b) 所示，加上輔助線如圖一(a)所示，其中。由圖一，面積扇形面積面積，亦即
其中, , （3）
, , （4）
由（3）、（4），而
，由夾擠定理
（5）
接下來，證明，
令，,（由（5））
，
（2）
■
例題1.求下列極限：
【解】
■
接下來，推導之微分，
（6）
【證明】
（由（1）、（2）） ■
之微分為，這一點可由圖二中
圖形之切線斜率印證之，讀者亦可利用Java applet 030201驗證之。接下來，推導
之微分：
（7）
【證明】
（由（1）、（2）） ■
讀者亦可利用Java applet 30201驗證上述公式。 與 微分推導出來後，剩下四個三角函數的微分就可利用3.3微分公式輕易地求得：
（8）
（9）
（10）
（11）
【證明】在此只證明（8）與（10），（9）與（11）可依樣畫葫蘆得到證明。
（由（6）、（7）及微分除法定律）
（由（6）、（7）及微分除法定律） ■
例題2.求之微分。
【解】 ■
例題3.試微分，並求之圖形在值為何時有水平之切線。
【解】
水平切線發生在之處，亦即之處，因恆不等於，故發生在，亦即之處，其中為整數（參考圖三驗證之）。 ■
3.5 習題
1. 求
2. 之圖形在值為何時有水平切線？
3. 試證。