複角公式

兩角之和與差的三角函數

假設是任意選取的二角，則複角公式為

公式1 : 公式4-1

証明: 考慮

……………………………..(1)

……………………….….….(2)

考慮與

(對頂角)

考慮 , 由(1)

……………(3)

考慮 得到 , 由(2)

………..(4)

因為

根據(3),(4) 得知

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公式2: 公式4-2

証明: 利用公式1，將角以()代入，則

(其中 )

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例題1 : 試求

　

解答: 利用正弦和角公式，

公式3 : 公式4-3

証明:利用，把以代入，可以得到

則

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公式4 : 公式4-4

証明: 利用公式3，將角以()代入，則

(其中)

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例題2: 試求

解答: 利用餘弦和角公式

公式5 : 公式4-5

証明: 根據正切三角函數的定義，可以得到

，所以

(再同時將分子與分母同除以可以得到)

公式6 : 公式4-6

証明: 利用公式5，將角以()代入，則可以得到

(其中)

例題3: 試求

解答: 利用正切和角公式。

習題4-1

1. 試求下列諸函數值:

解答:

2. 設 且 試求

解答:

3. 求下列各式的值:

解答:

4. 求之值。

解答:

5. 試求之值。

解答:

6. 假設為的根，則

解答: 因為為的根，由根與係數可知

且

故

7. 設試求之值。

解答: 因為故

8. 設試求的值。

解答: 因為

9. 設為一三角形的三個內角，試証 :

証明:因為為一三角形的三個內角

10. 設A 和B均為銳角，，，試求的值，

並求A+B 的角度。

解答: 因為A 和B均為銳角，所以

故 或 但且

即 ，故