2.5 習題解答

 

1. ，試證明在連續。

【解】很明顯地在連續，在連續，故除了這一點需要討論外，在其他實數皆連續。由於

，，故。又，，故在亦連續，故在連續。  ■

 

2. ，若在連續，則值為何？

【解】很明顯地，吾人可確定在連續，剩下這一點需要討論，若在連續，則，而

，，。

故，，。                     ■

 

3. ，試問在何處連續？

【解】之圖形請參考圖八。由於實數的稠密性，之圖形晝起來像有兩條水平線，但其實用放大鏡去看，這兩條水平線有很多空洞，而且彼此空洞的位置互補。由圖形可知，，不存在，故在亦不連續，結論是在所有實數皆不連續。                                ■

 

4. ，試問在何處連續？

【解】之圖形請參考圖九。同上題，圖九中的兩條直線亦充滿了空洞（實數的稠密性），且彼此空洞的位置互補，由上題推論明顯地，除了在處，其他點之極限值皆可確定不存在。而在處，， (亦即不論是有理數或無理數)，故，故只在連續。                        ■

 

5. 一西藏喇嘛早上七點從其山腳下的修練所出發，走唯一的山路上山，於晚上七點到達山頂。翌日，早上七點從山頂下山，在晚上七點時抵達山腳下的修練所，試用中間值定理證明，在此山路的某一處，這個喇嘛上山及下山經過該處都是在一天中的同一時刻。

【解】假設此喇嘛上山時。位置對一天中時間的函數為；下山時，位置對一天中時間的函數為，這兩個函數，他們一定皆在這個閉區間連續。無論你怎麼畫這兩個函數，他們一定在間至少有一個交點，如圖十所示。該交點即表示在此山路的某處，該喇嘛上、下山經過該處的時間皆在一天中的同一時間。以上只是畫圖推理，正式的證明需要用到中間值定理來證明。令，由於皆在連續，故亦在連續。由圖十，，。介於與之間，由中間值定理，存在一個時間，使得亦即 (參考圖十(b))，亦即在一天中存在一個同一時間，使得此時間上山與下山時的位置相同。