_{2.4習題解答}

1.試以極限精確定義証明 , .

【證明】

令為任一實數

      [對一給定的正數,要找出一(固定)數,使得 

       如果以為只要選取即可.

       (它的理由是 )

       但不幸地,這樣的選取是錯誤的,因為中的自變數變動,以致於也在變動,而不能將它選做為要找的正數.那麼到底應如何去正

       確地選取呢？下面的這種方法是：

       如果有,吾人可從中得知選

       取,則將有

       但如何才會有呢？吾人可限制小於某一正數譬如1,則

              

       因有額外的限制, 此時  勢必要修改為,

則   使得

      

       於是得証                              █

2. 試以極限精確定義證明

 【證明】

現欲證, 使得成立如下：

    

     若選取，則   

     , ,使得

     於是得證.                                           █

3 . 若, 試以極限精確定義證明對每一整數,

   【證明】

令為任一整數，則

    

     若選取，則，,使得

                                               

                                               

     於是得證對每一整數，                         

注意：(1)本題中之可選取小於1的任何正數，例如等，證明仍然

         成立。

      (2)讀者可仿上證明對每一整數，                     █