2.4 極限之精確定義

預備知識

1. 你知道如何展開嗎﹖不清楚的話,請先閱讀絕對值不等式之展開.

2. 你知道這些數學符號的意義嗎﹖你知道這些邏輯符號的意義嗎?

不清楚的話, 請先閱讀簡易邏輯概念.

3. 你知道這些希臘字母怎麼唸嗎﹖不清楚的話,請先閱讀希臘字母表.

之前我們介紹極限時, 以為例, 其直觀的定義就是『只要夠靠近2,但不能等於2,可任意的接近2』,亦即『當很接近2,但不等於2時,將會很接近4』.當然我們知道中, 用2代入會得到2, 但是定義規定我們不能等於2,亦即不能直接以2代入. 那怎麼斷定他的極限就是2呢? 我們可利用觀察法,當很接近2 (或者比較專業的說法是趨近於2), 但時, 的行為會如何? 我們可參考表一



1.96	1.9216
1.97	1.9409
1.98	1.9604
1.99	1.9801
2
2.01	2.0201
2.02	2.0404
2.03	2.0609
2.04	2.0816

表一

想更了解一點,可以玩一下他的Java applet 020401. 從Java applet中觀察到當趨近2時(不管從比2小趨近或比2大趨近), 〝好像〞會趨近於2.想要更進一步肯定這一點,我們可以藉著畫圖.在圖一中,當趨近2時，的確會趨近於2. 畫圖求極限雖然比觀察表一的數據來的直接與方便，但並非所有函數圖形都像這麼好畫, 比較難畫的圖形就往往須要借助電腦了.

上述作表或畫圖雖然可觀察出極限,但總覺得這個極限得來不是很踏實. 數學家尤其討厭這種感覺,總希望能在邏輯上嚴格地敘述及規範一切數學事件,並據以做後續的推理、證明. 因此之前『只要夠靠近2,但不能等於2,可任意的接近2』這樣的定義在數學家看來實在有點籠統,而亟思對極限加以嚴格及精確的定義.以下即是數學家以數學語句對極限下的精確定義﹕

2.4.1 極限的精確定義

意即

使得

上述定義看起來有點玄,他的白話意思就是『意即對每一個, 皆存在一個, 使得只要一定可推得』. 也許你還是有點不懂,用更白一點的說法即是『意即隨便你給一個大於0的數,我一定可以找到一個大於0的數,使得只要與的距離小於,但,則保證與的距離必定小於你給的』. 你也許還是覺得這樣講跟之前極限的直觀定義不易溝通, 讓我們回顧一下直觀的定義,它是『只要夠接近,但,則可任意地接近』.其中〝任意地〞、〝夠〞、〝接近〞這幾個形容詞在數學家來看實在過於籠統,於是數學家想辦法讓他盡可能的精確. 例如『只要與的距離夠小,但,則與的距離可任你意地小,』就比上一種說法精確多了, 但是還是有〝任意地〞與〝夠〞兩個形容詞未能避免.那麼再更精確的說法就是定義2.4.1了:隨便你給一個 (隱含〝任意地〞,又牽涉到距離, 一定要), 我一定可以找到一個 (也牽涉到距離, 一定也要), 使得與的距離小於(呼應前面〝夠〞的意思), 一定可推得與的距離會小於. 這樣應該可以了解什麼是極限的精確定義, 如果還不懂, 把它放在心裏時時回味一下,一回生, 二回熟, 慢慢就懂了. 學數學就是這樣,多想想道理自然會通.

接下來, 我們可以利用此新學到的極限的精確定義來證明的確是2,不過要在紙上一步一步地推理證明還有點困難,我們不妨利用下列之Java applet 020402 〝證明〞之。如果有人硬要說 ,你也可以利用定義2.4.1反駁他.怎麼做呢? 請試試這個Java applet 020403。

也許到此你總算了解什麼是極限的精確定義,但是當我們要利用極限精確定義來證明時,總不能每次都設計一個 Java applet 吧？事實上,對一些比較簡單的極限,我們可以純粹用筆紙來推理證明,像例題1就是:

例題1：試證

【證明】

第一步：證前分析(推測值)

若為任意給的一個正數,我們想推測出的值,使得

(1)

我們試著由反推出的值,

故只要 ,則(1)恆成立.為了方便起見我們不妨只令 .如此一來,隨便你給一個 ,我都可以找得到一個來滿足(1)了(請參考圖二).

第二步：正式證明

使得

如此根據極限精確定義,. █

接下來,我們再試試比較難的例題2

例題2: 試證 .

【證明】

第一步:證前分析(推測值)

若為任意給的一個正數,我們想推測出的值,使得

(2)

我們試著由反推出的值,

而,

你也許會說只要 ,則(2)恆成立,為了方便起見我們不妨只

令. 但如此一來,隨便你給一個 ,我們可以找得到的一

個還要視值而定,在這裡若怎麼辦? 故不能令

. 我們要更謹慎一點,如果我們能找到一個,使得

,則 . 如此只要 , 則

(2)即可滿足. 如何找一個合理的?因為我們的極限是當趨近於3,故

我們可以合理的考慮在3附近的值,例如 ,則

如此一來這個就是7,而,則(2)即可滿足.但現在我們有一個額外的限制,,亦即且.故此時需要修正成,為了方便起見我們不妨只令.如此一來,隨便你給一個 ,我都可以找得到一個來滿足(2)了.

第二步：正式證明

,>0,

若,則且,

其中, (3)

故

(利用(3))

如此根據極限精確定義, . █

例題2過程若還有不明瞭的地方,可以玩一下他的Java applet 020404.我們也可以利用極限的精確定義來一一證明2.3節中所有的極限定律.下列例題3我們欲利用極限的精確定義證明極限加法定律.

例題3 試證極限加法定律,假設與皆存在.

【證明】

假設,,

第一步：證前分析(推測值)

若為任意給的一個正數,我們想推測出的值,使得

(4)

其中.

若,且,則上式.

而由極限之精確定義2.4.1, 意即任給一個, 可找到一個, 使得只要一定可推得.注意上式只不過把定義2.4.1中的換成可罷了.當然我們可以據此推得給一個時,可找到一個,使得

. (5)

同理對於 ,亦可以推得給一個時,可找到一個,使得. (6)

如此只要 , 則(4)即可滿足.為了方便起見我們不妨只令,如此一來,隨便你給一個 ,我都可以找得到一個,且會滿足(4).

第二步：正式證明

,>0, 使得

且,

且 (由(5)與(6)),

如此根據極限精確定義, =L+M. █

我們可以用這樣的方式證明其他的極限定律,這樣極限定律用起來就比較安心踏實了(至少數學家會覺得如此).現在,之前我們說過用極限的精確定義來直接證明有點困難,現在我們可以利用極限定律輕易地證明之,而極限定律可一一用精確定義證明(注意：要能被證明才可以說是〝定律〞,而不是你說,我說,或某個偉人說是定律才算).