絕對值不等式之展開

 

 表示任意點x 和某固定點a之距離，因此表示點x 和點a的距離，小於一個值b， 以圖形來看：

           

亦即x 可為以a 為中心點向左及向右各伸展b 長度之開區間中的任意點﹒若將展開可得 –b < x-a < b  a-b < x < a+b , 以圖形來看： 

亦即x可為開區間 (a-b，a+b)  中之任一點﹒

此外  之展開過程如下：

        x – a > b   或   x –a < -b

      x> a + b   或   x < a –b,

意即x 和a的距離大於b，以圖形來看：   

                 

亦即x為a –b之左邊或a +b之右邊之任一點, 或謂 ﹒

 

例題1： 若 ，求x之範圍﹒

【解】         ,

x  (1,5).

  

例題2： 若 1< , 求x之範圍﹒

【解】  1<       1 < x-3 或 x-3 < -1

      4 < x   或 x < 2

x  ( ,2)  (4,  ).

 

例題3： 若 1<  <2 ，求x之範圍﹒

【解】  1<  <2 ，意即 1<  且  <2

    1<

      4 < x  或 x < 2  x  ( ,2)  (4,  )

‚  <2

      1 < x < 5  x  (1,5)

       x  [( ,2)  (4,  )]  (1,5)，即 x  (1,2)  (4,5)

     以圖形示之

     紅綠重疊部分即為所求﹒