2.2函數的極限

2.2 函數的極限

2.2.1 極限的直觀定義

唸做“當x趨近於a時，f (x)之極限為L”，意即“只要x夠靠近a，但，f (x)可任意地接近L”。

上述亦可表為，當，

唸做“當x趨近於a時，f (x)之值趨近於L”。

這裡要注意的是“”這句話，極限研究的是x靠近a時，f (x)的行為。基本上與f (a)無關，如果詳細討論與f (a)之間的關係，可分成表一中的五種關係：

表一

其中值得注意的是，即使f (a)與都存在時，還可進一步分成兩者相等或不等，在研究下面一連串例子時，希望讀者把這張表放在心上。

例題1：試求

【解】讓我們令，求上述極限時，你可能會有一股衝動想把2代到，亦即找出，而它即是。這種觀念是很危險的，記得表一中只是五種可能的一種，再還沒有學到2.3節的極限定律時，正確的做法是利用觀察法或畫圖法。

（一）觀察法

用計算機算出一連串x靠近2時之值，記得你要多靠近2都可以，但就是不能算。將這些數據排列起來觀察，如表二你可以觀察出不論x比2大或比2小，x趨近於2時，“好像”會趨近於2，因此我們推論。表二是由Java applet 020201算出來的，有興趣可以玩玩看。

也許你觀察到上述極限值明明就是函數值，為何不一開始將2直接代入就好了，還要這麼麻煩？　記得極限的定義是“x很靠近2，但”，直接代入易養成觀念上的錯誤。

(二)畫圖法

之圖形是拋物線不難畫，其圖形如圖一所示。由圖一，當x不論從比2小或比2大趨近於2時，但，的確會趨近於2，故亦可推論出。你也許認為畫圖法比觀察法容易求得極限，觀察法好像比較囉唆。事實的確如此，但那是函數的圖形很容易畫的情況下，若函數圖形很難畫時，就只能靠觀察法了。

在此例題中，與f (2)二者皆存在，且，對照表一是屬於函數值與極限值俱存在且二者相等的情況。 █

例題2：試求

【解】讓我們令，這時如果你還是習慣將1代入就行不通了。將1代入得到，你會說是“無意義”，也就是說f (1)這個函數值未定義。另外，希望你不會犯約分為1這種“致命”的錯誤。這裡有一個廿世紀初印度天才數學家Bhaskara的故事，Bhaskara從小就聰穎過人，在唸小學，數學老師交到分數中約分的觀念時，以分蘋果說明。數學老師說如果我有5個蘋果，分給5位同學，每個同學可得到一個蘋果，所以。推廣來說如果我有n個蘋果給n位同學，每個同學皆可得到一個蘋果，所以。這時Bhaskara看出n要不為0才行，馬上提出異議說「老師，照你的推論，如果你沒有蘋果，也不分給任何一位同學，結果是每個同學還是可以得到一個蘋果囉？」當場讓數學老師啞口無言。　言歸正傳，我們依舊用觀察法與畫圖法找出極限。

（一）觀察法

用計算機計算一連串x靠近1，但之函數值f (x)，如表三所示。由表三可觀察出極限值“好像”會是2。表三是由Java applet 020202算出來的，有興趣可以玩玩看。

（二）畫圖法

之圖形比較難畫，須稍微推理一下：。

上式約分就得，細心的同學會提出萬一，不就犯了的錯誤嗎？沒錯，所以我們要分與兩種情形。

的圖形就比較好畫了，畫起來如圖二所示。　如圖二，當x不論從比1小或比1大趨近於1時，f (x)的確會趨近於2，故亦可推論出。本例題，對照表一，是屬於極限值存在但函數值不存在的情形。 █

例題3：試求

【解】

（一）觀察法

結果如表四（可試試其Java applet 020203），由此可推論出極限值應是。

（二）畫圖法

之圖形也不好畫，要藉由電腦軟體來畫，如圖三所示。由圖三，的確當x趨近於0時，會趨近於。本例題是表一中，極限值存在但函數值不存在的情形。 █

例題4：試求

【解】（一）觀察法

結果如表五（可試試其Java applet 020204），由此可推論出極限值是1。

（二）畫圖法

之圖形也不好畫，在此利用電腦軟體畫出之圖形如圖四所示。由圖四，的確當x趨近於0時，會趨近於1。　本例題亦屬於表一中，極限值存在，函數值不存在的情形。 █

例題5：若　，求。

【解】這個函數的圖形很簡單，利用畫圖法即可。由圖五，當t比0小趨近於0時，會趨近於0，但當t比0大趨近於0時，會趨近於1。t=0左方極限值與右方極限值不一致，此時不存在（否則會有兩個極限值，那是定義所不允許的）。本例題不存在，但存在，這是表一中，函數值存在但極限值不存在之情形。 █

藉由例題五，我們來介紹一下所謂的單邊極限。

定義2.2.2　左極限的定義

唸做“當x從a之左邊趨近於a時，f (x)之極限為L”，意即只要x夠靠近a，但，f (x)可任意地接近L。

定義2.2.2其實只是定義2.2.1稍加修改而已，這裡係指x趨近於a，但x比a小。同理指的是x趨近於a，但x比a大。類似左極限定義的寫法，我們可寫出以下右極限的定義：

定義2.2.3　右極限的定義

唸做“當x從a之右邊趨近於a時，f (x)之極限為L”，意即只要x夠靠近a，但，f (x)可任意地接近L

左極限與右極限各管一邊的極限，故稱為單邊極限。例題5中的極限雖然不存在，但兩個單邊極限皆存在，分別為與，只是兩者不相等，故不存在，我們藉此引出下列的定理：

定理2.2.4

且 Û .

定理2.2.4告訴我們，所謂即是其兩個單邊極限都存在且皆等於L。　介紹完單邊極限，接下來我們來研究極限為無窮大之情形，無窮大的數學符號為¥，意指〝大的不得了〞，〝大的不受限制〞。¥是一個概念，而不是一個數字，這個觀念很重要，因為只要是一個數字，就會在實數線上有個位置，而¥無法在實數線上定位。同理－¥表示〝小的不得了〞，〝小得不受限制〞，他也只是一個概念，同樣無法在實數線上定位。